Question

20．已知函数f（x）=cosxsin²x，以下四个结论：
①f（x）既是偶函数，又是周期函数；
②f（x）图象关于直线x=π对称；
③f（x）图象关于$（\frac{π}{2}，0）$中心对称；
④f（x）的最大值$\frac{4}{9}\sqrt{3}$．
其中，正确的结论的序号是①②③．

Answer 1

分析 利用函数的周期性、奇偶性、对称性的概念对A、B、C选项逐一分析即可．对于④，f（x）=cosxsin²x=cosx（1-cos²x），令cosx=t，则，g（t）=t-t³，g′（t）=1-3t²，可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取最值，g（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，

解答 解：对于①，∵f（x）=cosxsin²x，∴f（-x）=cos（-x）sin²（-x）=cosxsin²x=f（x），∴f（x）是偶函数；
 又f（x+2π）=cos（x+2π）sin²（x+2π）=cosxsin²x=f（x），f（x）是周期函数，∴f（x）既是偶函数又是周期函数，即①正确；
 对于②，∵f（2π-x）=cos（2π-x）sin²（2π-x）=cosxsin²x=f（x），∴f（x）的图象关于直线x=π对称，即②正确．
对于③，∵f（x）+f（π-x）=cosxsin²x+cos（π-x）sin²（π-x）=cosxsin²x-cosxsin²x=0，∴f（x）的图象关于点$（\frac{π}{2}，0）$成中心对称，即③正确；
对于④，f（x）=cosxsin²x=cosx（1-cos²x），令cosx=t，则，g（t）=t-t³，g′（t）=1-3t²，可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时取最值，g（$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{9}$，故错．
故答案为：①②③．

点评 题考查三角函数的性质，着重考查函数的周期性、奇偶性、对称性及最值，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题