Question

6．已知直线MN过椭圆$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的左焦点F，与椭圆交于M，N两点．直线PQ过原点O与MN平行，且PQ与椭圆交于P，Q两点，则$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求得椭圆的焦点坐标，当直线MN的斜率不存在，求得丨MN丨及丨PQ丨，即可求得$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$，当直线MN的斜率不存在时，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式分别求得丨MN丨及丨PQ丨，即可求得$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=2$\sqrt{2}$．

解答 解：由题意的$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$左焦点F（-1，0），
当直线MN的斜率不存在时，则丨MN丨=$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，则丨PQ丨=2b=2，
则$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=$\frac{4}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
当直线MN的斜率存在，设直线MN的斜率k，则MN的方程y=k（x+1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
丨MN丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}（{k}^{2}+1）}{2{k}^{2}+1}$，
则直线PQ的方程y=kx，P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得：x²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，y²=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
则丨OP丨²=x²+y²=$\frac{2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2+2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
则丨PQ丨=2丨OP丨，则丨PQ丨²=4丨OP丨²=$\frac{8（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\frac{{|PQ{|^2}}}{|MN|}$=2$\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．