Question

8．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁ACC₁⊥底面ABC，AB=BC=2，∠ACB=30°，∠C₁CB=60°，BC₁⊥A₁C，E为AC的中点，侧棱CC₁=2．
（1）求证：A₁C⊥平面C₁EB；
（2）求直线CC₁与平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明BE⊥平面A₁ACC₁，可得BE⊥A₁C，即可证明：A₁C⊥平面C₁EB；
（2）判断∠C₁CA为直线C₁C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C₁M，即可求直线CC₁与平面ABC所成角的余弦值．

解答 （1）证明：∵AB=BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BE⊥平面A₁ACC₁，
∵A₁C?平面A₁ACC₁，∴BE⊥A₁C．
又BC₁⊥A₁C，BE∩BC₁=B，∴A₁C⊥面C₁EB．
（2）解：∵面A₁ACC₁⊥面ABC，∴C₁在面ABC上的射影H在AC上，
∴∠C₁CA为直线C₁C与面ABC所成的角．过H作HM⊥BC于M，连C₁M，
在Rt△C₁CM中，CM=CC₁cos∠C₁CM=2cos60°=1．
在Rt△CMH中，$CH=\frac{CM}{cos∠ACB}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∴在Rt△C₁CH中，$cos∠{C_1}CH=\frac{CH}{{C{C_1}}}=\frac{{\frac{2}{3}\sqrt{3}}}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴直线C₁C与面ABC所成的角的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．