Question

16．已知实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+2y≤4\\ x-2y≤2\end{array}\right.$，如果目标函数z=x+ay的最大值为$\frac{16}{3}$，则实数a的值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{14}{3}$
• C． 3或$\frac{14}{3}$
• D． 3或$-\frac{11}{3}$

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，分类讨论代入目标函数求得a值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+2y≤4\\ x-2y≤2\end{array}\right.$作出可行域如图，

联立方程组分别解得：A（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}$），B（-2，-2），C（3，$\frac{1}{2}$）．
化目标函数z=x+ay为y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$．
当a＞0时，由图可知，当直线y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$过A或C时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为$\frac{16}{3}$．
若过A，则$\frac{16}{3}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}a$，解得a=3，符合题意；若过C，则$\frac{16}{3}=3+\frac{a}{2}$，解得a=$\frac{14}{3}$，不合题意；
当a＜0时，由图可知，当直线y=$-\frac{x}{a}+\frac{z}{a}$过B或C时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为$\frac{16}{3}$．
若过B，则$\frac{16}{3}=-2-2a$，解得a=-$\frac{11}{3}$，符合题意；若过C，则$\frac{16}{3}=3+\frac{a}{2}$，解得a=$\frac{14}{3}$，不合题意．
∴a值为3或-$\frac{11}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．