Question

5．已知中心在原点，焦点在x轴的椭圆过点（1，$\frac{3}{2}$），其离心率与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率互为倒数．
（Ⅰ）求该椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点P（$\frac{1}{5}$，0），若直线y=kx+m（k≠0）与椭圆交于相异的两点M、N，且|MP|=|NP|，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），依题意得：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率为2，椭圆的离心率为$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c．b²=a²-c²=3c²．款的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，把点（1，$\frac{3}{2}$）代入椭圆方程即可得出．
（Ⅱ）设M、N的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），直线方程与椭圆方程联立得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．可得△＞0，再利用根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
依题意得：双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的离心率为2，
∴椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c．
∴b²=a²-c²=3c²．
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，∴$\frac{1}{4{c}^{2}}$+$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，解得：c²=1．
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）设M、N的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
∴m²＜4k²+3，M、N的中点坐标为（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．
∵|MP|=|NP|，
∴点P（$\frac{1}{5}$，0）在线段MN的中垂线上，
∴线段MN的中垂线方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{5}$），
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{5}$），得4k²+5km+3=0，即：m=-$\frac{4{k}^{2}+3}{5k}$，
代入m²＜4k²+3得：$\frac{（4{k}^{2}+3）^{2}}{25{k}^{2}}$＜4k²+3，
即：k²＞$\frac{1}{7}$，解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴k的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{7}}{7}$，+∞）．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、中点坐标公式、垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．