Question

7．某学校高三年级800名学生在一次百米测试中，成绩全部在12秒到17秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[12，13），第二组[13，14），…，第五组[16，17]，如图是根据上述分组得到的频率分布直方图．
（1）若成绩小于13秒被认为优秀，求该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）请估计本次测试的平均成绩；
（3）若样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分布直方图，先求出成绩小于13秒的频率，由此能求出该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数．
（2）由频率分布直方图能估计本次测试的平均成绩．
（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，从而得到第一组有3人，第五组有4人，进而第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，利用列兴法能求出所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生的概率．

解答 解：（1）由频率分布直方图，得成绩小于13秒的频率为0.06，
∴该样本在这次百米测试中成绩优秀的人数为：0.06×50=3（人）．┅┅┅┅3分
（2）由频率分布直方图估计本次测试的平均成绩为：
12.5×0.06+13.5×0.16+14.5×0.38+15.5×0.32+16.5×0.08=14.7┅┅┅┅┅┅┅6分
（3）由频率分布直方图，得第一组的频率为0.06，第五组的频率为0.08，
∴第一组有50×0.06=3人，第五组有50×0.08=4人，…7分
∵样本中第一组只有一名女生，第五组只有一名男生，
∴第一组中有1名女生2名男生，第五组中有3名女生1名男生，
现从第一、第五组中各抽取1名学生组成一个实验组，
设第一组中三人分别为a₁，a₂，a₃，其中a₁为女生，第五组中四人分别为b₁，b₂，b₃，b₄，其中b₁为男生，
则基本时间空间为Ω={（a₁，b₁）（a₁，b₂）（a₁，b₃）（a₁，b₄）（a₂，b₁）（a₂，b₂）（a₂，b₃）
（a₂，b₄）（a₃，b₁）（a₃，b₂）（a₃，b₃）（a₃，b₄）}
n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
所抽取的2名同学中恰好为一名男生和一名女生，包含的基本事件个数m=7，
∴所求概率为p=$\frac{m}{n}$=$\frac{7}{12}$．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．