Question

16．对于正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2的切线与平面直角坐标系的y轴交点的纵坐标为a_n，则数列$\{{log_2}\frac{a_n}{n+1}\}$的前10项等于55．

Answer 1

分析 欲求数列$\{{log_2}\frac{a_n}{n+1}\}$的前10项和，必须求出在x=2处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用对数的运算性质和等差数列的求和公式计算，从而问题解决．

解答 解：y′=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n•2^n-1-（n+1）•2ⁿ，
切点为（2，-2ⁿ），
所以切线方程为y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=log₂$\frac{{a}_{n}}{n+1}$．
数列{b_n}的前10项和为log₂2+log₂2²+log₂2³+…+log₂2¹⁰
=1+2+3+…+10=$\frac{1}{2}$×10×11=55．
故答案为：55．

点评 本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等差数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．