Question

6．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{4{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程是（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x
• B． y=±$\frac{1}{3}$x
• C． y=±$\sqrt{3}$x
• D． y=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$x

Answer 1

分析 根据题意，将椭圆的方程变形为标准方程，计算可得椭圆的离心率e₁，结合题意可得双曲线的离心率e₂，又由双曲线的标准方程分析可得e₂²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，由双曲线渐近线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$$+\frac{4{y}^{2}}{{m}^{2}}$=1，则其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{{m}^{2}}{4}}$=1，
则其离心率e₁²=1-$\frac{\frac{{m}^{2}}{4}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，则椭圆的离心率e₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则双曲线的离心率e₂=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的焦点在x轴上，又由其离心率e₂=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则有e₂²=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
则其渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x；
故选：A．

点评 本题考查椭圆、双曲线的标准方程，关键是求出椭圆的离心率．