Question

9．已知F₁、F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左、右焦点，M为椭圆上动点，则|MF₁|•|MF₂|的最大值为4．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的方程分析可得a=2，又由椭圆的定义可得|MF₁|+|MF₂|=2a=4，由基本不等式的性质可得|MF₁|•|MF₂|≤（$\frac{|M{F}_{1}|+|M{F}_{2}|}{2}$）²，计算即可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，其中a=$\sqrt{4}$=2，
M为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上动点，则有|MF₁|+|MF₂|=2a=4，
则|MF₁|•|MF₂|≤（$\frac{|M{F}_{1}|+|M{F}_{2}|}{2}$）²=4，
即|MF₁|•|MF₂|的最大值为4，
故答案为：4．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及基本不等式的性质，关键是充分利用椭圆的定义分析．