Question

4．设变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x+y≥0}\\{x+2y-4≥0}\end{array}\right.$，则z=x-2y的最大值为$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意作平面区域，化简z=3x-2y为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}z$，从而可得-$\frac{1}{2}z$是直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}z$的截距，从而解得．

解答 解：由题意作变量x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1≤0}\\{x+y≥0}\\{x+2y-4≥0}\end{array}\right.$平面区域如图，
化简z=x-2y为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}z$，-$\frac{z}{2}$是直线y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}z$的截距，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
故过点A（$\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}$）时，
z=x-2y有最大值为$\frac{1}{2}$-2×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了线性规划的解法及数形结合的思想应用．