Question

14．设F₁是椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点，M是C上一点，且MF₁与x轴垂直，若$|{M{F_1}}|=\frac{3}{2}$，椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）以椭圆C的左顶点A为Rt△ABD的直角顶点，边AB，AD与椭圆C交于B，D两点，求△ABD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得M的坐标，则有$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{3}{2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解可得a、b的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；
（2）设直线AB的方程为直线y=k（x+2）（k＞0），代入椭圆方程消去y得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，由此可以表示|AB|，同时可以设直线AD的方程为直线$y=-\frac{1}{k}（x+2）$，可以用k表示|AD|，由三角形面积公式结合基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）因为点F₁（-c，0），MF₁与x轴垂直，
所以$M（-c，\frac{b^2}{a}）$或$M（-c，-\frac{b^2}{a}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{3}{2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，
故椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）点A（-2，0），设直线AB的方程为直线y=k（x+2）（k＞0），
代入椭圆方程消去y得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
设A（x₁，0），则$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
所以${x_1}=\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）}•|{{x_1}+2}|=\sqrt{（1+{k^2}）}•|{\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+2}|=\frac{{12\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+3}}$
直线AD的方程为直线$y=-\frac{1}{k}（x+2）$，
同理可得$|{AD}|=\frac{{12\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{4}{k^2}+3}}$，
所以△ABD的面积：${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{AD}|=\frac{1}{2}•\frac{{12\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+3}}•\frac{{12\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{4}{k^2}+3}}=\frac{72}{{12（k+\frac{1}{k}）+\frac{1}{{k+\frac{1}{k}}}}}$
令$t=k+\frac{1}{k}$，因为k＞0，则$t=k+\frac{1}{k}≥2$，$f（t）=12t+\frac{1}{t}$在[2，+∞）上单增，
所以$f（t）≥\frac{49}{2}$，所以${S_{△ABD}}≤\frac{144}{49}$，△ABD面积的最大值为$\frac{144}{49}$．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，一般需要联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系进行分析．