Question

9．设函数f（x）=|2x-1|+3x-4，记不等式f（x）＜-3的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分类讨论，即可求M；
（Ⅱ）当x∈M时，要证x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0，只需证[f（x）]²-x|f（x）|＞0．

解答 （Ⅰ）解：依题设，当x$≤\frac{1}{2}$时，由f（x）=x-3＜-3，解得x＜0，此时x＜0，；
当x＞$\frac{1}{2}$时，由f（x）=5x-5＜-3，解得x$＜\frac{2}{5}$，此时x∈∅．
∴f（x）＜-3的解集为M=（-∞，0）．
（Ⅱ）证明：当x∈M时，要证x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0，
只需证[f（x）]²-x|f（x）|＞0，
由（Ⅰ）知，当x∈M时，f（x）=x-3，
∴[f（x）]²-x|f（x）|=（x-3）（2x-3），
又∵x-3＜0，2x-3＜0，∴[f（x）]²-x|f（x）|＞0，
∴x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0．

点评 本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．