Question

20．如图，在圆柱中，A，B，C，D是底面圆的四等分点，O是圆心，A₁A，B₁B，C₁C与底面ABCD垂直，底面圆的直径等于圆柱的高．
（Ⅰ）证明：BC⊥AB₁；
（Ⅱ）（ⅰ）求二面角A₁-BB₁-D的大小；
（ⅱ）求异面直线AB₁和BD所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：BC⊥平面A₁B₁BA，即可证明BC⊥AB₁；
（Ⅱ）（ⅰ）以C为原点，以$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{C{C_1}}$为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，不妨设圆柱的高为2，求出平的法向量，即可求二面角A₁-BB₁-D的大小；
（ⅱ）求出向量的坐标，即可求异面直线AB₁和BD所成角的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：因为B₁B⊥平面ABCD，且BC?平面ABCD，所以BC⊥B₁B，
又因为在底面圆O中，AB⊥BC，AB∩B₁B=B，所以BC⊥平面A₁B₁BA，
又因为BA₁?平面A₁B₁BA，所以BC⊥AB₁．…（5分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）由圆柱性质知CB、CD、CC₁两两垂直．
以C为原点，以$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{C{C_1}}$为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系C-xyz，不妨设圆柱的高为2．
则C（0，0，0），$B（0，\sqrt{2}，0）$，O（1，1，0）．…6分
所以平面A₁B₁B的一个法向量是$\overrightarrow{CB}=（0，\sqrt{2}，0）$．
平面BB₁D的一个法向量是$\overrightarrow{CO}=（1，1，0）$．
所以$cos＜\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CO}＞=\frac{{\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CO}}}{{|{\overrightarrow{CB}}||{\overrightarrow{CO}}|}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{2}×\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（8分）
由图知二面角A₁-BB₁-D是锐二面角，所以它的大小是$\frac{π}{4}$．…（9分）
（ⅱ）由题意得$A（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，$D（\sqrt{2}，0，0）$，${B_1}（0，\sqrt{2}，2）$．
所以$\overrightarrow{A{B_1}}=（-\sqrt{2}，0，2）$，$\overrightarrow{BD}=（\sqrt{2}，-\sqrt{2}，0）$．
所以$|{cos＜\overrightarrow{A{B_1}}，\overrightarrow{BD}＞}|=\frac{{|{\overrightarrow{A{B_1}}•\overrightarrow{BD}}|}}{{|{\overrightarrow{A{B_1}}}||{\overrightarrow{BD}}|}}=\frac{{|{-2}|}}{{\sqrt{2+4}\sqrt{2+2}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}$． …（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查异面直线所成角，考查向量知识的运用，属于中档题．