Question

8．数列{a_n}对于确定的正整数m，若存在正整数n使得a_m+n=a_m+a_n成立，则称数列{a_n}为“m阶可分拆数列”．
（1）设{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，证明{a_n}为“3阶可分拆数列”；
（2）设数列{a_n}的前n项和为${S_n}={2^n}-a$（a＞0），若数列{a_n}为“1阶可分拆数列”，求实数a的值；
（3）设${a_n}={2^n}+{n^2}+12$，试探求是否存在m使得若数列{a_n}为“m阶可分拆数列”．若存在，请求出所有m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）a_n=2n．可得a_3+n=a₃+a_n．即可证明{a_n}为“3阶可分拆数列”．
（2）${S_n}={2^n}-a$（a＞0），a₁=S₁=2-a，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1．根据数列{a_n}为“1阶可分拆数列”，可得a_n+1=a₁+a_n，可得a．
（3）假设数列{a_n}为“m阶可分拆数列”．可得a_m+n=a_m+a_n成立，化为（2^m-1）（2ⁿ-1）+2mn=13．对m，n分类讨论即可得出．

解答 （1）证明：a_n=2+2（n-1）=2n．
则a_3+n=2×（3+n）=6+2n=a₃+a_n．
∴{a_n}为“3阶可分拆数列”．
（2）解：${S_n}={2^n}-a$（a＞0），a₁=S₁=2-a，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-a-（2^n-1-a）=2^n-1．
∵数列{a_n}为“1阶可分拆数列”，
∴a_n+1=a₁+a_n，∴2ⁿ=2-a+2^n-1，∴a=2-2^n-1．
令n=1时，a=1．
（3）解：假设数列{a_n}为“m阶可分拆数列”．
则a_m+n=a_m+a_n成立，∴2^n+m+（n+m）²+12=2^m+m²+12+2ⁿ+n²+12，
化为：2^n+m+2mn=2^m+2ⁿ+12，
∴（2^m-1）（2ⁿ-1）+2mn=13．
可得：m=1，n=3；m=2，n不存在；m=3，n=1．m≥4时n不存在．
∴只有两组：m=1，n=3；m=3，n=1．

点评 本题考查了数列递推关系、新定义、分类讨论方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．