Question

18．如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，$AB=\sqrt{3}$，BC=2，AC=1．
（1）求证：AB⊥AD；
（2）设E是BD的中点，若直线CE与平面ACD的夹角为30^°，求四面体ABCD外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）证明DC⊥BC，AB⊥CD，推出AB⊥AC，然后证明AB⊥平面ADC，得到AB⊥AD．
（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，证明EF⊥平面ADC，连接FC，说明∠ECF=30°，求出以四面体ABCD的外接球的半径然后求解即可．

解答 解：（1）证明：由平面ABC⊥平面BCD，DC⊥BC，得DC⊥平面ABC，∴AB⊥CD…（2分）
又由$AB=\sqrt{3}$，BC=2，AC=1，得BC²=AB²+AC²，所以AB⊥AC…（4分）
故AB⊥平面ADC，所以AB⊥AD…（6分）
（2）取AD的中点F，连接EF，则EF∥BA，
因为AB⊥平面ADC∴EF⊥平面ADC…（8分）
连接FC，则∠ECF=30°，∴$CE=2EF=AB=\sqrt{3}$…（9分）
又∠BAD=∠BCD=90°，
所以四面体ABCD的外接球的半径$R=CE=\sqrt{3}$…（11分）
故四面体ABCD的外接球的表面积=$4π{（\sqrt{3}）^2}=12π$…（12分）
（向量解法酌情给分）

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的外接球的表面积的求法，直线与平面所成角的应用，考查空间想象能力以及计算能力．