Question

7．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=$\sqrt{6}$，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（　　）

• A． 2π
• B． 4π
• C． 8π
• D． 16π

Answer 1

分析 根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积

解答 解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，
若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S_△ABC不变，高最大时体积最大，
所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为$\frac{1}{3}$S_△ABC×DQ=3，
即$\frac{1}{3}$×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，
OA²=AQ²+OQ²，即R²=（$\sqrt{3}$）²+（3-R）²，∴R=2，
则这个球的表面积为：S=4π×2²=16π．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．