Question

12．已知函数$f（x）=ax-\frac{b}{x}-2lnx$，对任意实数x＞0，都有$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$成立．
（Ⅰ）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$，n≥2，n∈N₊．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用对任意实数x＞0，都有$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$成立，得出$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，求导数，利用对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，分类讨论，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明$\frac{1}{{{n^2}-1}}+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$，所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$，即可证明：$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$，n≥2，n∈N₊．

解答 （Ⅰ）解：∵$f（x）=-f（\frac{1}{x}）$，∴$（a-b）（x+\frac{1}{x}）=0$，即得a=b┅┅┅┅┅┅1分
$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，$f'（x）=a（1+\frac{1}{x^2}）-\frac{2}{x}=\frac{{a{x^2}-2x+a}}{x^2}$┅┅┅┅┅┅2分
当a≤0时，因为x≥1，所以f'（x）＜0，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递减，
此时f（2）＜f（1）=0与f（x）≥0不符，（舍）┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3分
当a＞0时，令g（x）=ax²-2x+a，△=4-4a²，
若△≤0，即a≥1时，g（x）≥0，f'（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增．f（x）≥f（1）=0成立┅┅┅┅┅4分
若△＞0，即0＜a＜1时，设g（x）的零点为x₁，x₂（x₁＜x₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{2}{a}＞0$，x₁x₂=1．所以有0＜x₁＜1＜x₂．
则当x∈（1，x₂）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）在x∈（1，x₂）上单调递减，f（x）＜f（1）=0与f（x）≥0不符，（舍）．┅┅┅┅┅┅┅┅5分
综上：实数a的取值范围是[1，+∞）．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，$f（x）=（x-\frac{1}{x}）-2lnx≥0$恒成立．
即$x-\frac{1}{x}≥2lnx$（x≥1），┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅7分
令$x=\frac{n^2}{{{n^2}-1}}（n＞1，n∈{N_+}）$
则有$\frac{n^2}{{{n^2}-1}}-\frac{{{n^2}-1}}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{{n^2}-1}}$，即$\frac{1}{{{n^2}-1}}+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$┅┅┅┅┅┅10分
所以$\frac{1}{2}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{n^2}{{（{n-1}）（{n+1}）}}$
迭加有$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}$┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分
所以$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}+\frac{1}{2}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
故$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…+\frac{1}{n^2}＞2ln\frac{2n}{n+1}-\frac{3}{4}$成立．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅13分．

点评 本题考查导数知识的运用，考查不等式的证明，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．