Question

1．直角△ABC中，AD为斜边BC边的高，若$|{\overrightarrow{AC}}|=1$，$|{\overrightarrow{AB}}|=3$，则$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=（　　）

• A． $\frac{9}{10}$
• B． $\frac{3}{10}$
• C． $-\frac{3}{10}$
• D． $-\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 根据题意建立平面直角坐标系，写出A、B、C的坐标，利用BC的直线方程求出点D的坐标，再写出$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$，计算$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：建立平面直角坐标系如图所示，
A（0，0），B（3，0），C（0，1）；
则BC的直线方程为$\frac{x}{3}$+y=1，
设点D（m，n）；
则点D在直线BC上，∴$\frac{m}{3}$+n=1①；
又直线AD的斜率是$\frac{n}{m}$，且与直线BC的斜率-$\frac{1}{3}$的积是-1，
∴$\frac{n}{m}$=3②，
由①②组成方程组，解得m=$\frac{3}{10}$，n=$\frac{9}{10}$，
∴D（$\frac{3}{10}$，$\frac{9}{10}$）；
∴$\overrightarrow{AB}$=（3，0），
$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{10}$，-$\frac{1}{10}$），
∴$\overrightarrow{CD}•\overrightarrow{AB}$=3×$\frac{3}{10}$+0×（-$\frac{1}{10}$）=$\frac{9}{10}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的数量积与运算问题，是基础题．