Question

13．从椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）上的动点M作圆${x^2}+{y^2}=\frac{b^2}{2}$的两条切线，切点为P和Q，直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，则△EOF面积的最小值是$\frac{b^3}{4a}$．

Answer 1

分析 由题意，求得直线PQ的方程，求得直线PQ与x轴和y轴的交点分别为E和F，利用三角形的面积公式求得S=$\frac{{b}^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$，由M在椭圆方程，利用基本不等式的性质，即可求得△EOF面积的最小值．

解答 解：设（x₀，y₀），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴直线MP和MQ的方程x₁x+y₁y=$\frac{{b}^{2}}{2}$，x₂x+y₂y=$\frac{{b}^{2}}{2}$，
由M在MP上和MQ上，则
x₁x₀+y₁y₀=$\frac{{b}^{2}}{2}$，x₂x₀+y₂y₀=$\frac{{b}^{2}}{2}$，
则P和Q满足xx₀+yy₀=$\frac{{b}^{2}}{2}$，
∴直线PQ的方程为xx₀+yy₀=$\frac{{b}^{2}}{2}$，
则直线PQ与x轴和y轴的焦点分别为E（$\frac{{b}^{2}}{2{x}_{0}}$，0），F（0，$\frac{{b}^{2}}{2{y}_{0}}$），
∴△EOF面积S=$\frac{1}{2}$×丨OE丨×丨OF丨=$\frac{{b}^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$，
由M在椭圆方程，即b²y₀²+a²x₀²=a²b²，
由b²y₀²+a²x₀²≥2ab丨x₀y₀丨，则丨x₀y₀丨≤$\frac{ab}{2}$，
则S=$\frac{{b}^{4}}{8丨{x}_{0}{y}_{0}丨}$≥$\frac{{b}^{3}}{4a}$，当且仅当b²y₀²=a²x₀²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{2}$，
△EOF面积的最小值$\frac{b^3}{4a}$，
故答案为：$\frac{b^3}{4a}$．

点评 本题考查直线的方程的求法，椭圆的性质，基本不等式的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．