Question

3．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，M为BC的中点，N为AF的中点．
（Ⅰ）求证：AF⊥EC；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF⊥EC．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），利用向量法能证明MN⊥平面AEF．
（Ⅲ）求出平面AEF的法向量和平面CEF的法向量，利用向量法能求出二面角A-EF-C的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是边长为1的正方形，ED⊥平面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵FB⊥平面ABCD，且ED=FB=1，M为BC的中点，N为AF的中点，
∴A（1，0，0），F（1，1，1），E（0，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），$\overrightarrow{EC}$=（0，1，-1），
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EC}$=0+1-1=0，
∴AF⊥EC．
（Ⅱ）M（$\frac{1}{2}$，1，0），N（1，$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AF}$=（0，1，1），
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AE}$=-$\frac{1}{2}+0+\frac{1}{2}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AF}$=0-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow{MN}$⊥$\overrightarrow{AF}$，∴MN⊥AE，MN⊥AF，
∵AE∩AF=A，∴MN⊥平面AEF．
解：（Ⅲ）$\overrightarrow{CE}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{CF}$=（1，0，1），
设平面AEF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AF}=y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
设平面CEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CE}=-b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=a+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，-1），
设二面角A-EF-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴二面角A-EF-C的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查线线垂直、线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．