Question

18．已知圆O：x²+y²=1，点P为直线x-2y-3=0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB，A、B为切点，则直线AB经过定点（　　）

• A． （2，0）
• B． （3，0）
• C． （$\frac{1}{2}$，-1）
• D． （$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 根据题意设P的坐标为P（2m+3，m），由切线的性质得点A、B在以OP为直径的圆C上，求出圆C的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦AB所在的直线方程，再求出直线AB过的定点坐标．

解答 解：因为P是直线x-2y-3=0的任一点，所以设P（2m+3，m），
因为圆x²+y²=1的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，
所以OA⊥PA，OB⊥PB，
则点A、B在以OP为直径的圆上，即AB是圆O和圆C的公共弦，
则圆心C的坐标是（m+$\frac{3}{2}$，$\frac{m}{2}$），且半径的平方是r²=$\frac{（2m+3）^{2}+{m}^{2}}{4}$，
所以圆C的方程是（x-m-$\frac{3}{2}$）²+（y-$\frac{m}{2}$）²=$\frac{（2m+3）^{2}+{m}^{2}}{4}$，①
又x²+y²=1，②，
②-①得，（2m+3）x+my-1=0，即公共弦AB所在的直线方程是：（2m+3）x+my-1=0，
即m（2x+y）+（3x-1）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-1=0}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得x=$\frac{1}{3}$，y=-$\frac{2}{3}$，
所以直线AB恒过定点（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
故选D．

点评 本题考查了直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，圆的切线性质，以及直线过定点问题，属于中档题．