Question

8．在平面直角坐标系中，曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$（α为参数）经伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\frac{x}{2}\\{y^'}=y\end{array}\right.$后的曲线为C₂，以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C₂的极坐标方程；
（2）A，B是曲线C₂上两点，且$∠AOB=\frac{π}{3}$，求|OA|+|OB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出曲线C₁的普通方程，从而求出曲线C₂的直角坐标方程，由此能求出曲线C₂的极坐标方程．
（2）设A（ρ₁，θ），$B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{3}）$（$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}）$），推导出|OA|+|OB|=$2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$，由此能求出|OA|+|OB|的取值范围．

解答 解：（1）曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=2+2cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$化为普通方程为：$\frac{{{{（x-2）}^2}}}{4}+{y^2}=1$，
又$\left\{\begin{array}{l}{x^'}=\frac{x}{2}\\{y^'}=y\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=2{x^'}\\ y={y^'}\end{array}\right.$代入上式可知：
曲线C₂的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，即x²+y²=2x，
∴曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）设A（ρ₁，θ），$B（{ρ_2}，θ+\frac{π}{3}）$（$θ∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{6}）$），
∴$|{OA}|+|{OB}|={ρ_1}+{ρ_2}=2cosθ+2cos（θ+\frac{π}{3}）$=$2\sqrt{3}cos（θ+\frac{π}{6}）$，
因为$（θ+\frac{π}{6}）∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$，
所以|OA|+|OB|的取值范围是$（\sqrt{3}，2\sqrt{3}]$．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两线段和的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．