Question

13．已知函数f（x）=|lnx-$\frac{a}{x}$|+b，其中a，b∈R且a＞2，若f（2）=$\frac{e}{2}$-ln2+1，f（x）在（1，f（1））处切线的斜率为-e-1．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调区间；
（2）若实数c，d满足cd=λ，且f（c）＜f（d）对于任意c＞d恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出a，b的值，从而求出函数f（x）的解析式，求出函数的单调区间即可；
（2）取d=e，则c=$\frac{λ}{d}$＞e，通过讨论c的范围求出f（c）-f（d）=$\frac{e}{d}$+$\frac{ed}{λ}$-lnλ，结合不等式的性质确定λ的范围即可．

解答 解：（1）由于a＞2且f（2）=$\frac{e}{2}$-ln2+1，则$\frac{a}{2}$+b=$\frac{e}{2}$+1，
若f（x）=-$\frac{a}{x}$+lnx+b，f′（x）=$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$，不满足f′（1）=-e-1
若f（x）=$\frac{a}{x}$-lnx+b，即f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，
故f′（1）=-a-1=-e-1，即a=e，b=1，
因此f（x）=|lnx-$\frac{e}{x}$|+1，
令g（x）=lnx-$\frac{e}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{e}{{x}^{2}}$＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，
由于g（e）=0，则f（x）=|lnx-$\frac{e}{x}$|+1=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{e}{x}-lnx+1，0＜x＜e}\\{lnx-\frac{e}{x}+1，x＞e}\end{array}\right.$，
故当0＜x＜e时，f（x）=$\frac{e}{x}$-lnx+1，f′（x）=-g′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞e时，f（x）=lnx-$\frac{e}{x}$+1，f′（x）=g′（x）＞0，f（x）单调递增．
因此（x）的单调递减区间为（0，e），f（x）的单调递增区间为（e，+∞）；
（2）当λ∈（e²，+∞）时，取d=e，则c=$\frac{λ}{d}$＞e，
由于f（x）在（e，+∞）上单调递增，则f（d）＜f（c），不合题意，故舍去；
当λ∈（0，e²]时，由抽屉原理可知d＜$\sqrt{λ}$≤e，则f（d）=$\frac{e}{d}$-lnd+1，
若c≤e，由于f（x）在（0，e）上单调递减，则f（c）＜f（d）成立；
若c＞e，c=$\frac{λ}{d}$，则f（d）=lnc-$\frac{e}{c}$+1=lnλ-$\frac{ed}{λ}$+1，
故f（c）-f（d）=$\frac{e}{d}$+$\frac{ed}{λ}$-lnλ，
由于λ∈（0，e²），则lnλ≤2，$\frac{ed}{λ}$≥$\frac{d}{e}$（当且仅当λ=e²时取“=”）
故f（c）-f（d）≥$\frac{e}{d}$+$\frac{d}{e}$-2≥2$\sqrt{\frac{e}{d}•\frac{d}{e}}$-2=0（当且仅当d=e时取“=”）
由于d＜e，故上式无法取“=”，
因此f（c）＜f（d）恒成立，λ∈（0，e²]．

点评 本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．