Question

3．已知函数f（x）=ax-$\frac{b}{x}$-2lnx，对任意实数x＞0，都有f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）成立．
（1）求函数y=f（e^x）所有零点之和；
（2）对任意实数x≥1，函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：求得a=b，由t₁•t₂•…•t_n=1，根据函数的单调性可得e^x₁•e^x₂•…•e^x_n=t₁•t₂•…•t_n=1，由指数函数的运算性质即可求得x₁+x₂+…+x_n=0；
（2）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，求得函数f（x）的最大值，即可求得与f（x）≥0相比较，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）由f（x）=-f（$\frac{1}{x}$），则（a-b）（x+$\frac{1}{x}$）=0，则a=b，
则f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，
设x是f（x）的零点，则$\frac{1}{x}$也是f（x）的零点，
不妨设f（x）的零点t₁，t₂，…，t_n，则t₁•t₂•…•t_n=1，
由t=e^x单调递增，设函数y=f（e^x）的零点x₁，x₂，…，x_n，则t_i=e^x_i，i=1，2，3，…，n，
则e^x₁•e^x₂•…•e^x_n=t₁•t₂•…•t_n=1，
∴x₁+x₂+…+x_n=0，
故函数y=f（e^x）所有零点之和为0；
（2）f（x）=a（x-$\frac{1}{x}$）-2lnx，求导f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，由x≥1，则f′（x）＜0，则f（x）在[1，+∞）上单调递减，
此时，f（2）＜f（1）=0，与f（x）≥0不符，（舍去）
当a＞0，令g（x）=ax²-2x+a，△=4-4a²，
若△≤0，即a≥1时，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
则f（x）≥f（1）=0，成立，
若△＞0，即0＜a＜1，设g（x）的零点为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁+x₂=$\frac{2}{a}$＞0，x₁x₂=1，则0＜x₁＜1＜x₂，
当x∈（1，x₂）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
f（x）在x∈（1，x₂）上单调递减，
f（x）＜f（1）=0，与f（x）≥0不符，（舍去）
综上可知：实数a的取值范围[1，+∞）．

点评 本题考查函数零点的判断，导数与函数单调性的关系，利用函数单调性与最值得关系，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．