Question

11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知atanB=2bsinA．
（1）求B；
（2）若b=$\sqrt{3}$，A=$\frac{5π}{12}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据题意，将atanB=2bsinA变形可得asinB=2bsinAcosB，由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，分析可得cosB=$\frac{1}{2}$，由B的范围可得答案；
（2）由三角形内角和定理可得C的大小，进而由正弦定理可得c=$\frac{b}{sinB}$×sinC=$\sqrt{2}$，由三角形面积公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，atanB=2bsinA⇒a$\frac{sinB}{cosB}$=2bsinA⇒asinB=2bsinAcosB，
由正弦定理可得sinAsinB=2sinBsinAcosB，
变形可得2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
又由0＜B＜π，
故B=$\frac{π}{3}$，
（2）由（1）可得：B=$\frac{π}{3}$，
则C=π-$\frac{π}{3}$-$\frac{5π}{12}$=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得c=$\frac{b}{sinB}$×sinC=$\sqrt{2}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．