Question

6．椭圆两焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），P在椭圆上，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，△PF₁F₂的面积为9，则该椭圆的标准方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{32}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1

Answer 1

分析 根据题意，分析可得2c=|F₁F₂|=8，以及PF₁⊥PF₂，即△PF₁F₂的为直角三角形，又由△PF₁F₂的面积为9，分析可得|PF₁|•|PF₂|=18，结合勾股定理分析可得（|PF₁|+|PF₂|）2=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=100，变形可得2a=|PF₁|+|PF₂|=10，即a=5，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的标准方程，计算可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆两焦点为F₁（-4，0），F₂（4，0），
则有2c=|F₁F₂|=8，即c=4，
又由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，则PF₁⊥PF₂，即△PF₁F₂的为直角三角形，
又由△PF₁F₂的面积为9，则有$\frac{1}{2}$（|PF₁|•|PF₂|）=9，即|PF₁|•|PF₂|=18；
又由|F₁F₂|=8，即|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²=64；
则（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=100，
即2a=|PF₁|+|PF₂|=10，则a=5，
又由c=4，则b²=a²-c²=9；
故椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
故选：A．

点评 本题考查椭圆的几何性质，关键是求出|PF₁|+|PF₂|的值．