Question

8．已知焦点在x轴上，离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$的椭圆C的一个顶点是（0，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，且OA⊥OB，O为坐标原点，判断直线l与圆x²+y²=1的位置关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，椭圆的半焦距为c，结合题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ b=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）根据题意，分析直线的斜率，分2种情况证明：①当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性分析易得证明，②当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为y=kx+m，联立直线与椭圆的方程，得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，结合根与系数的关系以及向量数量积的定义分析，可得证明；综合可得结论．

解答 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，设椭圆的半焦距为c，
又$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}\\ b=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
所以$a=\sqrt{3}，b=1，c=\sqrt{2}$．
所以椭圆C的方程为$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$． 
（Ⅱ）直线l与圆x²+y²=1相交，
分2种情况证明：
①当直线l与x轴垂直时，由OA⊥OB及椭圆的对称性得直线l的方程为$x=±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
此时l与圆x²+y²=1相交． 
②当直线l与x轴不垂直时，
设l的方程为y=kx+m，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{x^2}{3}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得到（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}$，
于是$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）=（{{k^2}+1}）{x_1}{x_2}+mk（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$
=$（{{k^2}+1}）•\frac{{3{m^2}-3}}{{3{k^2}+1}}+mk（{-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}}）+{m^2}$=$\frac{{（{{k^2}+1}）（{3{m^2}-3}）-6{k^2}{m^2}+{m^2}（{3{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+1}}$
=$\frac{{3（{{k^2}+1}）{m^2}-3（{{k^2}+1}）-6{k^2}{m^2}+{m^2}（{3{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+1}}=\frac{{4{m^2}-3（{{k^2}+1}）}}{{3{k^2}+1}}=0$，
所以${m^2}=\frac{{3（{{k^2}+1}）}}{4}$，此时△＞0．
此时点O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\sqrt{\frac{{\frac{{3（{{k^2}+1}）}}{4}}}{{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}＜1$，
于是l与圆x²+y²=1相交．

点评 本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意要分析直线的斜率是否存在．