Question

8．在平面直角坐标系中，过点（0，1），倾斜角为45°的直线L，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ．
（1）将曲线E化为直角坐标方程，并写出直线L的一个参数方程；
（2）直线L与圆x²+（y-1）²=1从左到右交于C，D，直线L与E从左到右 交于A，B，求|AC|+|BD|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲线E的直角坐标方程；由直线L过点（0，1），倾斜角为45°，能求出直线L的一个参数方程．
（2）将L的参数方程代入x2=4y中得t2-4$\sqrt{2}$t-8=0，由直线L过圆心，能求出|AC|+|BD|的值．

解答 解：（1）∵曲线E的极坐标方程为ρcos²θ=4sinθ，即ρ²cos²θ=4ρsinθ，
∴曲线E的直角坐标方程为：x2=4y，
∵直线L过点（0，1），倾斜角为45°，
∴直线L的一个参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）.5（分）
（2）将L的参数方程代入x2=4y中得t2-4$\sqrt{2}$t-8=0，
$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=4\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-8}\end{array}\right.$，直线L过圆心，故|AC|+|BD|=|AB|-2=|t₁-t₂|-2=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$-2=6．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程、直线的参数方程的求法，考查两线段和的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化思想、函数与方程思想，是中档题．