Question

17．已知向量$\overrightarrow m=（{a，1，-b}），\overrightarrow n=（{b，1，1}）（{a＞0，b＞0}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，则$\frac{1}{a}+4b$的最小值为9．

Answer 1

分析 根据题意，由于$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，结合空间向量的数量积运算可得$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+1-b=0，即a+$\frac{1}{b}$=1；进而分析有$\frac{1}{a}+4b$=（$\frac{1}{a}+4b$）（a+$\frac{1}{b}$）=5+4ab+$\frac{1}{ab}$，由基本不等式分析可得答案．

解答 解：根据题意，向量$\overrightarrow m=（{a，1，-b}），\overrightarrow n=（{b，1，1}）（{a＞0，b＞0}）$，
若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，则有$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ab+1-b=0，即a+$\frac{1}{b}$=1；
$\frac{1}{a}+4b$=（$\frac{1}{a}+4b$）（a+$\frac{1}{b}$）=5+4ab+$\frac{1}{ab}$≥5+2$\sqrt{4}$=9；
即$\frac{1}{a}+4b$的最小值为9；
故答案为：9．

点评 本题考查基本不等式的应用，涉及空间向量的垂直的性质，关键是分析得到a+$\frac{1}{b}$=1．