Question

9．已知双曲线${C_1}：\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$与双曲线${C_2}：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率相同，且双曲线C₂的左、右焦点分别为F₁，F₂，M是双曲线C₂一条渐近线上的某一点，且OM⊥MF₂，${S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$，则双曲线C₂的实轴长为（　　）

• A． 4
• B． $4\sqrt{3}$
• C． 8
• D． $8\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据条件先求出双曲线的离心率，然后利用a，b，c的关系求出渐近线的方程，结合三角形的面积公式进行求解即可．

解答 解：双曲线${C_1}：\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{2}=1$中，a₁=$\sqrt{6}$，c₁=$\sqrt{6+2}$=2$\sqrt{2}$，则离心率e=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{c}{a}$，
即c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，则b²=c²-a²=$\frac{1}{3}$a²，得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，即$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
设双曲线的渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，即bx-ay=0，
则右焦点F₂，
∵OM⊥MF₂，
∴MF₂=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{bc}{c}=b$，
则渐近线y=$\frac{b}{a}$x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，则渐近线的倾斜角∠MOF₂=30°，∠OF₂M=60°，
则OF₂=2MF₂，即c=2b，
则三角形的面积${S_{△OM{F_2}}}=8\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$OF₂MF₂sin60°=$\frac{1}{2}$×b•2b•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b²，
则b²=16，则a²=3b²=48，则a=4$\sqrt{3}$，
则2a=$8\sqrt{3}$，
即双曲线C₂的实轴长为$8\sqrt{3}$，
故选：D．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，根据双曲线离心率，渐近线以及三角形的面积建立方程关系是解决本题的关键．