Question

1．已知函数f（x）=2sinωx-4sin²$\frac{ωx}{2}$+2+m（其中ω＞0，m∈R），且当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）的图象在y轴右侧得到第一个最高点．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[2，4]上的最大值为5，最小值是p，求m和p的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，根据当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）的图象在y轴右侧得到第一个最高点，解出ω．再利用周期公式求函数的最小正周期，
（Ⅱ）x∈[-π12，5π12]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值，即得到f（x）的取值范围

解答 解：函数f（x）=2sinωx-4sin²$\frac{ωx}{2}$+2+m，
化简可得：f（x）=2sinωx-4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosωx）+2+m=2sinωx+2cosωx+m=2$\sqrt{2}$sin（$ωx+\frac{π}{4}$）+m．
由题意，x=$\frac{1}{2}$时，可得$\frac{ω}{2}+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=$\frac{π}{2}$，
∴f（x）=$2\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$）+m．
（Ⅰ）函数的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=4$；
（Ⅱ）当x∈[2，4]上，则$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$∈[$\frac{5π}{4}$，$\frac{9π}{4}$]．
当$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{2}$，函数f（x）取得最小值为m-2$\sqrt{2}$．即p=m-2$\sqrt{2}$
当$\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}$=$\frac{9π}{4}$，函数f（x）取得最大值为2+m．
f（x）在区间[2，4]上的最大值为5，即2+m=5，
解得：m=3．
∴p=3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．