Question

18．设函数f（x）=|x+2|-|x-2|，g（x）=x+$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去掉绝对值化简函数的解析式，通过当x＜-2时，当-2≤x≤2时，当x＞2时，转化不等式求解即可．（Ⅱ）求出函数f（x）_min，利用?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，求解t的取值范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题可得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x＜-2}\\ \begin{array}{l}2x，-2≤x≤2\\ 4，x＞2\end{array}\end{array}}\right.$，
当x＜-2时，由可得$x≤-\frac{9}{2}$，所以$x≤-\frac{9}{2}$；
当-2≤x≤2时，由可得$x≥\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}≤x≤2$；
当x＞2时，由可得$x≤\frac{7}{2}$，所以$2＜x≤\frac{7}{2}$；
综上可得，不等式的解集为$（{-∞，-\frac{9}{2}}]∪[{\frac{1}{2}，\frac{7}{2}}]$．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-4，x＜-2}\\ \begin{array}{l}2x，-2≤x≤2\\ 4，x＞2\end{array}\end{array}}\right.$，
所以f（x）_min=-4，若?x∈R，f（x）≥t²-5t恒成立，解得1≤t≤4，
综上，t的取值范围为[1，4]．…（10分）

点评 本题考查不等式的解法函数恒成立条件的应用，考查转化思想以及计算能力．