Question

6．已知函数f（x）=|x-1|+|x+1|，P为不等式f（x）＞4的解集．
（Ⅰ）求P；
（Ⅱ）证明：当m，n∈P时，|mn+4|＞2|m+n|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得 f（x），分类讨论求得不等式f（x）＞4的解集P．
（Ⅱ）由题意可得m²≥4，n²≥4，计算左边的平方减去右边的平方的结果大于或等于零，不等式得证．

解答 （Ⅰ）解：f（x）=|x-1|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x≥1}\\{2，-1＜x＜1}\\{-2x，x≤-1}\end{array}\right.$，
由f（x）的单调性及f（x）＞4得，$\left\{\begin{array}{l}{2x＞4}\\{x≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2x＞4}\\{x≤-1}\end{array}\right.$，解得x＞2或x＜-2．
所以不等式f（x）＞4的解集为P={x|x＞2或x＜-2}．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知|m|＞2，|n|＞2，
所以m²＞4，n²＞4，（mn+4）²-4（m+n）²=（m²-4）（n²-4）＞0，
所以（mn+4）²＞4（m+n）²，
从而有|mn+4|＞2|m+n|．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，用比较法证明不等式，属于中档题．