Question

1．数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=（2ⁿ-1）a_n，且a₁=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=na_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将n换为n-1，两式相减，可得{a_n}是一个以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，运用等比数列的通项公式即可得到；
（2）求得b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．再由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式即可得到所求和．

解答 解：（1）由${S_n}=（{2^n}-1）{a_n}$，可得${S_{n-1}}=（{2^{n-1}}-1）{a_{n-1}}$（n≥2），
两式相减，得${S_n}-{S_{n-1}}=（{2^n}-1）{a_n}-（{2^{n-1}}-1）{a_{n-1}}$，
$（{2^n}-2）{a_n}=（{2^{n-1}}-1）{a_{n-1}}$，即$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}（n≥2）$，
故{a_n}是一个以1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
所以${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，n∈N*；
（2）b_n=na_n=n•（$\frac{1}{2}$）^n-1．
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$1×{（\frac{1}{2}）^0}+2×{（\frac{1}{2}）^1}+3×{（\frac{1}{2}）^2}+…+n{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$，①
$\frac{1}{2}{T_n}$=$1×{（\frac{1}{2}）^1}+2×{（\frac{1}{2}）^2}+…+（n-1）{（\frac{1}{2}）^{n-1}}+n{（\frac{1}{2}）^n}$，②
①-②，得$\frac{1}{2}{T_n}=1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}-n{（\frac{1}{2}）^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$，
所以${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．