Question

16．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥DC，AD=DC=PA=2，BC=4，E为PA的中点，M为棱BC上一点．
（Ⅰ）当BM为何值时，有EM∥平面PCD；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求点P到平面DEM的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD中点F，连接EF，CF，推导出四边形EMCF为平行四边形，从而EM∥FC，由此推导出当BM=3时，EM∥平面PCD．
（Ⅱ）设点P到平面DEM的距离为d，由V_A-DEM=V_E-AMD，能求出点P到平面DEM的距离．

解答 解：（Ⅰ）当BM=3时，有EM∥平面PCD．
取PD中点F，连接EF，CF，
∵E，F分别为PA，PD的中点，
∴EF∥AD，且$EF=\frac{1}{2}AD=1$．
又∵梯形ABCD中，CM∥AD，且CM=1，
∴EF∥CM，且EF=CM，
∴四边形EMCF为平行四边形，
∴EM∥FC，
又∵EM?平面PCD，FC?平面PCD，∴EM∥平面PCD，
即当BM=3时，EM∥平面PCD．
（Ⅱ）∵E为PA的中点，
∴点P到平面DEM的距离等于点A到平面DEM的距离，设点P到平面DEM的距离为d，
由已知可得，$AM=MD=ED=\sqrt{5}$，$EM=\sqrt{6}$，
∴S_△AMD=2，${S_{△DEM}}=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，
由V_A-DEM=V_E-AMD，得$\frac{1}{3}{S_{△DEM}}•d=\frac{1}{3}{S_{△AMD}}•EA$，
∴$d=\frac{{{S_{△AMD}}•EA}}{{{S_{△DEM}}}}=\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$，
所以点P到平面DEM的距离为$\frac{{4\sqrt{21}}}{21}$．

点评 本题考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查化归转化思想、数形结合思想，是中档题．