Question

5．已知α，β为锐角，且$tanα=\frac{1}{7}$，$cos（{α+β}）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，则cos2β=（　　）

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$

Answer 1

分析 首先由已知求出α，α+β的其它三角函数值，然后由β=α+β-α，求出β的三角函数值，再借助于倍角公式求值．

解答 解：由已知α为锐角，且$tanα=\frac{1}{7}$，得到sinα=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，cosα=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
由$cos（{α+β}）=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得到sin（α+β）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
所以cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{2\sqrt{5}}{5}×\frac{7\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{5}}{5}×\frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{15\sqrt{10}}{50}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以cos2β=2cos²β-1=$2×\frac{9}{10}-1=\frac{4}{5}$；
故选C．

点评 本题考查了三角函数式的化简求值；熟练运用两角和与差的三角函数以及角的等价变化、倍角公式是解答的关键．