Question

7．设点F为抛物线y²=4x的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则|AF|+|BF|=（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 8
• D． 10

Answer 1

分析 方法一：由抛物线的焦点弦公式求得丨AF丨+丨BF丨=x₁+x₂+2，由丨AD丨=丨BD丨，利用两点之间的距离公式即可求得x₁+x₂=6，即可求得|AF|+|BF|；
方法二：由抛物线的焦点弦公式求得丨AF丨+丨BF丨=x₁+x₂+2，利用点差法求得直线AB的斜率，即可求得直线AB的中垂线方程，将D代入即可求得x₁+x₂，即可求得|AF|+|BF|．

解答 解：方法一：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则丨AF丨+丨BF丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+2，
由线段AB的中垂线交x轴于点D（5，0），则丨AD丨=丨BD丨，
（x₁-5）²+y₁²=（x₂-5）²+y₂²，整理得：（x₁+x₂-10）（x₁-x₂）=y₂²-y₁²=4（x₂-x₁），
x₁+x₂-10=-4，x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故选C．
方法二：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
则丨AF丨+丨BF丨=x₁+$\frac{p}{2}$+x₂+$\frac{p}{2}$=x₁+x₂+2，
则AB的中点坐标为：（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}}\\{{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}\right.$，整理得：（y₂-y₁）（y₂+y₁）=4（x₂-x₁），
直线AB的斜率k=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，则直线AB的中垂线的斜率-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$，
中垂线方程y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$（x-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
将D（5，0），代入，解得：x₁+x₂=6，
∴|AF|+|BF|=8．
故选C．

点评 本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查点差法的应用，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．