Question

2．在平面直角坐标系上，有一点列${P_1}，{P_2}，…，{P_{n-1}}，{P_n}，…（{n∈{N^*}}）$，设点P_n的坐标（n，a_n），其中${a_n}=\frac{2}{n}（n∈{N^*}）$，过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为b_n，设S_n表示数列{b_n}的前n项和，则S₅=$\frac{125}{6}$．

Answer 1

分析 先根据题意求出过点P_n，P_n+1的直线方程为y-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$（x-n），分别令x=0，y=0，表示出b_n=4+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再分组求和即可．

解答 解：由题意可得P_n的坐标（n，$\frac{2}{n}$），P_n+1的坐标为（n+1，$\frac{2}{n+1}$），
则过点P_n，P_n+1的直线方程为y-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$（x-n），
令x=0，解得y=$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{n+1}$，
令y=0，解得x=2n+1，
∴b_n=$\frac{1}{2}$•（$\frac{2}{n}$+$\frac{2}{n+1}$）（2n+1）=2+$\frac{n+1}{n}$+$\frac{n}{n+1}$=4+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$
∴S_n=4n+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=4n+1-$\frac{1}{n+1}$=4n+$\frac{n}{n+1}$，
∴S₅=20+$\frac{5}{6}$=$\frac{125}{6}$，
故答案为：$\frac{125}{6}$

点评 本题考查了数列在解析几何中的应用，以及直线方程的求法和三角形的面积公式，考查了学生的分析问题，解决问题的能力，属于中档题