Question

10．若（1-8x⁵）（ax²-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式中含x³项的系数是16，则a=±2．

Answer 1

分析 利用二项展开式的通项公式可求得（ax²-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式的通项公式为：T_r+1=（-1）^r${C}_{4}^{r}$a^4-r${x}^{8-\frac{5}{2}r}$，r=0，1，2，3，4，再分别令8-$\frac{5}{2}$r=3与-2，依题意，可得${C}_{4}^{2}$a²-8=16，解之可得a的值．

解答 解：（ax²-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁴的展开式的通项公式为：T_r+1=${C}_{4}^{r}$（ax²）^4-r（-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）^r
=（-1）^r${C}_{4}^{r}$a^4-r${x}^{8-\frac{5}{2}r}$，r=0，1，2，3，4．
令8-$\frac{5}{2}$r=3，得r=2； 令8-$\frac{5}{2}$r=-2，得r=4．
∴依题设，有${C}_{4}^{2}$a²-8=16，解得a=±2．
故答案为：±2．

点评 本题考查二项式定理的应用，突出考查二项展开式的通项公式的运用，考查计算能力，属于中档题．