Question

5．如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，即可求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，由余弦定理求无人机到丙船的距离．

解答 解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，$\frac{AP}{sin∠APB}=\frac{AB}{sin∠APB}=\frac{AB}{{\frac{1}{2}}}$，
在△BPC中，由正弦定理，得$\frac{CP}{sin∠CBP}=\frac{BC}{sin∠CPB}=\frac{BC}{1}$，
又$\frac{BC}{AB}=\frac{3}{1}$，sin∠ABP=sin∠CBP，
故$\frac{AP}{CP}=\frac{2}{3}$．即无人机到甲、丙两船的距离之比为$\frac{2}{3}$．
（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，
由（1），可设AP=2x，则CP=3x，
在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）²+（3x）²-2（2x）（3x）cos120°，
解得$x=\frac{400}{{\sqrt{19}}}=\frac{{400\sqrt{19}}}{19}$，
即无人机到丙船的距离为$CP=3x=\frac{{1200\sqrt{19}}}{19}$≈275米．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，属于中档题．