Question

17．函数$f（x）=2sin（2x+ϕ）（|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后对应的函数是奇函数，函数$g（x）=（2+\sqrt{3}）cos2x$．若关于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，则cos（α-β）的值为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，利用三角函数的图象，可得sin（2α+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（2β+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，从而得到2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，进而得到cos（α-β）=cos（θ-$\frac{π}{2}$）=sinθ的值．

解答 解：函数$f（x）=2sin（2x+ϕ）（|ϕ|＜\frac{π}{2}）$的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，得到y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+Φ）的图象；
∵对应的函数是奇函数，∴$\frac{π}{3}$+Φ=kπ，k∈Z，即Φ=kπ-$\frac{π}{3}$，∴Φ=-$\frac{π}{3}$，即f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
∵函数$g（x）=（2+\sqrt{3}）cos2x$，关于x的方程f（x）+g（x）=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，
即2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+（2+$\sqrt{3}$）cos2x=-2在[0，π）内有两个不同的解α，β，
即 $\frac{1}{2}$sin2x+cos2x=-1 在[0，π）内有两个不同的解α，β，
即$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（2x+θ）=-1（其中，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，θ为锐角）在[0，π）内有两个不同的解α，β，
即方程sin（2x+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ 在[0，π）内有两个不同的解α，β．
∵x∈[0，π），∴2x+θ∈[θ，2π+θ），∴sin（2α+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sin（2β+θ）=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴sinθ=-sin（2α+θ）=-sin（2β+θ），∴2α+θ=π+θ，2β+θ=2π-θ，
∴2α-2β=-π+2θ，α-β=θ-$\frac{π}{2}$，∴cos（α-β）=cos（θ-$\frac{π}{2}$）=sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．