Question

9．设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=λS_n+1（n∈N*，λ≠-1），且a₁、2a₂、a₃+3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用数列的递推式，将n换为n-1，相减可得数列{a_n}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列，再由等差数列中项的性质，解方程可得公比为2，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得${b_n}=n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）∵a_n+1=λS_n+1（n∈N*），∴a_n=λS_n-1+1（n≥2），
∴a_n+1-a_n=λa_n，即a_n+1=（λ+1）a_n（n≥2），λ+1≠0，
又a₁=1，a₂=λS₁+1=λ+1，
∴数列{a_n}是以1为首项，公比为λ+1的等比数列，
∴${a_3}={（λ+1）^2}$，
由a₁、2a₂、a₃+3成等差数列
∴4（λ+1）=1+（λ+1）²+3，整理得λ²-2λ+1=0，得λ=1，
∴${a_n}={2^{n-1}}$，n∈N*；
（Ⅱ）${b_n}=n{a_n}=n•{2^{n-1}}$，
∴${T_n}=1•1+2•{2^1}+3•{2^2}+…+n•{2^{n-1}}$，①
∴$2{T_n}=1•{2^1}+2•{2^2}+…+（n-1）•{2^{n-1}}+n•{2^n}$，②
①-②得$-{T_n}=1+2+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n•{2^n}$=$\frac{{1•（1-{2^n}）}}{1-2}-n•{2^n}$，
整理得${T_n}=（n-1）•{2^n}+1$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．