Question

19．在△ABC中，角A、B、C的对边为a，b，c满足c=2acosBcosC+2bcosCcosA，且△ABC的面积为3$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{13}$，则a+b=（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 利用正弦定理，代入，根据，两角和的正弦公式即可求得C，根据三角形的面积公式及余弦定理，即可求得a²+b²，由完全平方公式即可求得a+b的值．

解答 解：由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
由c=2acosBcosC+2bcosCcosA，则2RsinC=2×2RsinA×cosBcosC+2×2RsinB×cosCcosA，
sinC=2cosC（sinAcosB+sinBcosA），
∴sinC=2cosCsin（A+B）
由C=π-（A+B），
则sinC=2cosCsinC，
由sinC≠0，则2cosC=1，cosC=$\frac{1}{2}$，
△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$ab×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
则ab=12，
由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
则a²+b²=25，
由（a+b）²=a²+2ab+b²=49，
则a+b=7，
故选D．

点评 本题考查正弦定理及余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题．