Question

10．如图，在边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n为实数），则m+n的取值范围是（　　）

• A． $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$
• B． $[{\frac{3}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$
• C． $[{\frac{3}{4}，\frac{9}{4}}]$
• D． $[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，\frac{9}{4}}]$

Answer 1

分析 如图所示，$\overrightarrow{AB}$=（ 4，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，4）．可得 $\overrightarrow{AP}$=m $\overrightarrow{AB}$+n $\overrightarrow{AD}$=（ 4m，4n）．当圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，P（ 4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
此时m+n取得最小值；当圆心为点C时，AP经过圆心时，P（ $4+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$4+\frac{\sqrt{2}}{2}$）．此时m+n取得最大值．

解答 解：如图所示，边长为4的长方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，向量$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AD}$（m，n为实数）； $\overrightarrow{AB}$=（ 4，0），$\overrightarrow{AD}$=（0，4）．可得 $\overrightarrow{AP}$=m $\overrightarrow{AB}$+n $\overrightarrow{AD}$=（ 4m，4n）．
当动圆Q的圆心经过点C时，如图：P（ $4+\frac{\sqrt{2}}{2}$，$4+\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
此时m+n取得最大值：4m+4n=8+$\sqrt{2}$，可得m+n=2+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
当动圆Q的圆心为点B时，AP与⊙B相切且点P在x轴的下方时，$\overrightarrow{AP}=（4+cosθ，sinθ）$，
此时，4m+4n=4-$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），
m+n取得最小值为：1-$\frac{\sqrt{2}}{4}$；此时P（ 4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴则m+n的取值范围为$[{1-\frac{{\sqrt{2}}}{4}，2+\frac{{\sqrt{2}}}{4}}]$．
故选：A．

点评 本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．