Question

5．已知二次函数f（x）=x²-bx+c在x=1处取得最小值-1．
（1）解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥6|x|；
（2）若实数a满足|x-a|＜1，求证：|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．

Answer 1

分析 （1）求函数的解析式，分类讨论解不等式|f（x）|+|f（-x）|≥6|x|；
（2）由题意可得，|f（x）-f（a）|=|x-a|•|x+a-2|＜|x+a-2|．再根据|x+a-2|=|x-a+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|，再利用条件以及绝对值不等式的性质证得结论．

解答 （1）解：由题意，b=2，$\frac{4c-{b}^{2}}{4}$=-1，∴c=0，
∴f（x）=x²-2x，
∴|f（x）|+|f（-x）|≥6|x|，即|x²-2x|+|x²+2x|≥6|x|，
∴x=0或|x-2|+|x+2|≥6，
x≤-2，不等式可化为-x+2-x-2≥6，∴x≤-3，∴x≤-3；
-2＜x＜2，不等式可化为-x+2+x+2≥6，不成立；
x≥2，不等式可化为x-2+x+2≥6，∴x≥3，∴x≥3，
综上所述，不等式的解集为{x|x≤-3或x≥3或x=0}；
（2）证明：∵f（x）=x²-2x，∴|f（x）-f（a）|=|x²-2x-a²+2a|=|x-a|•|x+a-2|，
∵实数a满足|x-a|＜1，∴|x-a|•|x+a-2|＜|x+a-2|．
又|x+a-2|=|x-a+2a-2|≤|x-a|+|2a-2|＜1+|2a-2|≤1+|2|a|+2=2|a|+3，
∴|f（x）-f（a）|＜2|a|+3．

点评 本题主要考查二次函数的性质，考查不等式的解法，考查绝对值不等式的性质，属于中档题．