Question

14．已知数列{a_n}满足a_n+1=3a_n+2，若首项a₁=2，则数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n．

Answer 1

分析 由数列的递推关系可得数列{a_n+1}是3为首项，以3为公比的等比数列，求出a_n=3ⁿ-1，再根据等比数列的求和公式，分组求和即可

解答 解：∵a_n+1=3a_n+2，
∴a_n+1+1=3a_n+3=3（a_n+1），
∵首项a₁=2，
∴a_n+1=3，
∴数列{a_n+1}是3为首项，以3为公比的等比数列，
∴a_n+1=3ⁿ，
∴a_n=3ⁿ-1，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n，
故答案为：$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$-n

点评 本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于中档题