Question

3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$C：\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）求曲线C上的点到直线l的最小距离．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程；由直线l的极坐标方程，能求出直线l的直角坐标方程．
（2）在曲线C上任取一点P（5cosα，3sinα），利用点到直线的距离公式能求出曲线C上的点到直线l的最小距离．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$C：\left\{\begin{array}{l}x=5cosα\\ y=3sinα\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
∵直线l的极坐标方程为ρ（4cosθ-5sinθ）+40=0，
∴直线l的直角坐标方程为4x-5y+40=0．
（2）在曲线C上任取一点P（5cosα，3sinα），
则点P到直线l的距离为：
d=$\frac{|20cosα-15sinα+40|}{\sqrt{41}}$=$\frac{|25sin（α+θ）+40|}{\sqrt{41}}$，
∵sin（α+θ）∈[-1，1]．
∴当sin（α+θ）=-1时，曲线C上的点到直线l的最小距离为$\frac{15\sqrt{41}}{41}$．

点评 本题考查曲线的普通方程和直线的直角坐标方程的求法，考查曲线上的点到直线的最小距离的求法，考查曲线内接矩形周长的最大值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程互化公式的应用，考查运算求解能力、转化化归思想，是中档题．