Question

12．设函数f（x）=min{xlnx，$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$}（min{a，b}表示a，b中的较小者），则函数f（x）的最大值为（　　）

• A． $\frac{4}{{e}^{2}}$
• B． 2ln2
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $\frac{3}{2}$ln2

Answer 1

分析 先求出xlnx=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，根据函数零点存在定理可得零点为x₀∈（1，2），根据新定义，再利用导数分别求出每段上的最大值，比较即可．

解答 解：令xlnx=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
则lnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=lnx-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
∴g（1）=-$\frac{1}{e}$＜0，g（2）=ln2-$\frac{2}{{e}^{2}}$＞0，
∴g（x）在（1，2）上存在零点，
设零点为x₀，
分别画出y=xlnx，与y=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$的图象，
结合图象可得，
当x＜x₀时，f（x）=xlnx，
∴f′（x）=1+lnx，
当f′（x）＞0时，解得$\frac{1}{e}$＜x≤x₀，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，解得0＜x＜$\frac{1}{e}$，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_max=f（x₀）=x₀lnx₀，
当x＞x₀时，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$，
f′（x）=$\frac{x（2-x）}{{e}^{x}}$
当f′（x）＞0时，解得x₀＜x≤2，函数f（x）单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＞2，函数f（x）单调递减，
∴f（x）_max=f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∵x₀lnx₀=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{e}^{{x}_{0}}}$＜$\frac{4}{{e}^{2}}$，
∴函数f（x）的最大值为$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故选：A

点评 本题考查了导数和函数的最值问题，以及函数零点的问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．