Question

18．设数列{a_n}的前n项和${S_n}={2^{n+1}}-2$，数列{b_n}满足${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理即可得到所求通项公式；
（2）求出${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n+1）lo{g}_{2}{2}^{2n-1}}$+2^2n-1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$+2^2n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+2^2n-1，再由裂项相消求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=4-2=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2-（2ⁿ-2）=2ⁿ，
上式对n=1也成立．
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ，n∈N*；
（2）${b_n}=\frac{1}{{（{2n+1}）{{log}_2}{a_{2n-1}}}}+{2^{2n-1}}$=$\frac{1}{（2n+1）lo{g}_{2}{2}^{2n-1}}$+2^2n-1
=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$+2^2n-1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+2^2n-1，
数列{b_n}的前项和T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{2}{3}$（4ⁿ-1）=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-$\frac{1}{4n+2}$-$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．