Question

9．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）在区间[-2，6]内恰有三个不同的实根，则实数a的取值范围是（$\root{3}{4}$，2）．

Answer 1

分析 由已知中可以得到函数f（x）的图象关于直线x=2对称，结合函数是偶函数，及x∈[-2，0]时的解析式，可画出函数的图象，将方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=log_a（x+2）的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x∈R，都有f（2-x）=f（x+2），
∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，
则函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6）上有三个不同的交点，如下图所示：
又f（-2）=f（2）=3，则有log_a（2+2）＜3，且log_a（6+2）＞3，
解得：$\root{3}{4}$＜a＜2，
故答案为：（$\root{3}{4}$，2）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．